LINEAR PROGAMMING
A. KONSEP
DASAR
Konsep
Linear Programming (LP)
= metode
untuk menentukan alokasi yang optimal atas sumber daya langka yang melibatkan one objective dan multiple limiting factors.
Faktor
restriksi (pembatas) dalam
pencapaian suatu tujuan (objective) meliputi:
1. The
physical constraint yang berhubungan dengan ukuran dari fasilitas tertentu
2. Ukuran
dari pekerja (worker)
3. Labor
hours the worker is allowed to work
4. Ketersediaan
dana
B. KONSEP
DASAR OBJECTIVE, CONSTRAINT, AND ITS FUNCTION
1. Objective
(Tujuan)
Tujuan perusahaan
dapat berupa maximize or minimize some measure of performance, seperti memaksimalkan contribution margin atau meminimalkan product cost.
2. 2. Constraint
(Batasan atau Restriksi)
Merupakan
hambatan manajemen dalam pencapaian tujuan. Dapat berupa resource constraints
(production capacity, availability of labor time, space, raw material, dll)
atau berupa demand or marketing constraints (quantity sold during time period).
3. 3. Function
or Formulatting an LP Problem
Terpenting sejak awal : membuat bentuk persamaan matematika
dari data yang diberikan.
Untuk
mengkonversi data informasi menjadi persamaan matematika, dibutuhkan decision variable yaitu elemen seperti
number of units yang digunakan untuk menyelesaikan suatu masalah. Fungsi
objektif dan constraint harus diidentifikasi.
Step 1 :
Tentukan persamaan matematika dari suatu tujuan (objective function)
Basic
Objective Function
Maximazation
problems Max CM = CM1X1 + CM2X2
Minimazation
problems Min VC = VC1X1
+ VC2X2
Keterangan :
CM =
Contribution Margin
CM1 atau 2 = CM per unit produk 1 atau 2
VC =
Variable Cost VC1
atau 2 = VC per unit produk 1 atau 2
X1
= produk pertama
X2
= produk kedua
Step 2 :
Tentukan persamaan matematika dari suatu batasan (constraint)
Biasanya
batasan sumber daya dinyatakan secara inequalities (tidak =)
Resource
Constraint (1) = A1X1 + A2X2 ≤
Resource 1
Koefisien
A1 dan A2 adalah koefisien input-output yang mengindikasikan setiap decision variable menggunakan
atau menghabiskan sumber daya yang langka.
Step 3 :
Membuat grafik constraint dan menentukan feasible region atau ruang grafik yang
terisi semua garis constraint
Step 4 :
Tentukan titik koordinat tiap corner (vetex) dari feasible region
Step 5 : Hitung nilai objective
function semua titik koordinat lalu pilih optimal soultion (max or min
problems)
C. MEMAKSIMALKAN
CONTRIBUTION MARGIN
Berikut adalah contoh linear programming untuk memperbesar contribution
margin :
Diasumsikan sebuah kedai kopi membuat 2 model produk, yaitu model standar
dan deluxe.
1. Setiap unit model standar memerlukan waktu 2 jam untuk penggilingan dan 4
jam untuk pemolesan
2. Setiap unit model deluxe memerlukan waktu 5 jam untuk penggilingan dan 2
jam untuk pemolesan
3. Perusahaan memiliki 3 mesin penggilingan dan 2 mesin pemolesan
4. Setiap 40
jam waktu kerja mingguan menyediakan 120 jam kapasitas penggilingan dan dan 80
jam kapasitas pemolesan
5. Model standar dijual dengan harga $9 dan model deluxe dijual dengan harga
$12
6. Variable costs untuk membuat dan menjual per satu unit model adalah $6
untuk model standar
dan $8 untuk model deluxe
Akibatnya CM dari model standar
adalah $3 dan model deluxe adalah $4
Informasi
yang relevan adalaha sebagai berikut:
Waktu
Penggilingan
|
Waktu
Pemolesan
|
Harga jual
|
Variable
Cost
|
CM
|
|
Standard
model
|
2
|
4
|
$9
|
$6
|
$3
|
Deluxe
model
|
5
|
2
|
12
|
8
|
4
|
Plant
capacity
|
120
|
80
|
Persamaan
matematikanya adalah:
1) Objective function -> maximize
CM = 3x + 4y
2) Constraint -> waktu penggilingan -> 2x +5y ≤ 120
Waktu pemolesan -> 4x + 2y ≤ 80
Batasan -> Waktu penggilingan = 2x + 5y ≤
120
Waktu pemolesan = 4x + 2y ≤ 80
Dari
persamaan batasan waktu penggilingan dan pemolesan, maka akan diperoleh:
2x + 5y = 120 x
2 4x + 10y = 240
4x + 2y = 80 x
1 4x
+ 2y = 80
8y
= 160
y
= 160/8 = 20
x
= 10
lalu
masukan ke fungsi objektifitas:
Maximize
CM = 3x + 4y
= 3(10) + 4(20)
= 110
Dapat juga
menggunakan cara grafik dengan menentukan feasible areanya
(1) 2x + 5y = 120
x = 0 -> y = 24
y = 0 -> x = 60
(2) 4x + 2y = 80
x = 0 -> y = 40
y = 0 -> x = 20
Berikut adalah gambar grafiknya :
Setelah
kita mendapatkan beberapa titik di grafik di atas, kita tinggal memasukkan
setiap titik pada grafik tersebut ke dalam fungsi objektif, sehingga diperoleh
:
(10,20) Maximize CM = 3(10) x 4(20) = 110 -> CM paling tinggi
(0,24) Maximize
CM = 3(0) x 4(24) = 96
(20,0) Maximize CM = 3(20) x 4(0) = 60
Jadi, titik paling maksimal adalah titik x = 10 dan y = 20 yang dapat
menghasilkan contribution margin sebesar 110.
D. MEMINIMALISIR BIAYA
Contoh penggunaan linear programming untuk meminimalisir biaya :
Diasumsikan terdapat perusahaan
farmasi yang berencana untuk memproduksi tepatnya 40 galon yang terdiri dari
campuran 2 bahan yaitu bahan x dan y yang memiliki biaya secara berurutan $8
dan $15 per galon. Tidak lebih dari 12 galon bahan x yang dapat digunakan,
sedangkan untuk memastikan kualitas, minimal 10 galon bahan y harus digunakan.
Perusahaan ingin meminimalisir biaya yang ditimbulkan.
Maka
persamaan matematikanya adalah:
1) Objective function -> minimize
cost = 8x + 15y
2) Constraint -> x + y = 40
x ≤ 12
y ≥ 10
Di kasus ini, kita harus mengoptimalkan penggunaan
bahan x karena biayanya lebih murah dibandingkan bahan y. Sehingga jika kita
mengoptimalkan bahan x, maka bahan x yang digunakan sebanyak 12 galon.
Sedangkan sisanya adalah bahan y, yaitu sebanyak 28 galon (40-12).
Jika diaplikasikan ke dalam sebuah grafik, hasilnya
akan menjadi seperti ini :
Dari grafik di atas, bisa ditemukan dua titik.
Kemudian masukkan kedua titik tersebut ke dalam fungsi objektif (objective
function) :
(0,40) Minimize cost = 8(0) + 15(40) = 600
(12,28) Minimize cost = 8(12) + 15(28) =
516 -> cost paling rendah
Komentar
Posting Komentar